Algebraische Kurve

Eine algebraische Kurve ist eine eindimensionale algebraische Varietät, kann also durch eine Polynomgleichung beschrieben werden. Ein wichtiger Spezialfall sind die ebenen algebraischen Kurven, also algebraische Kurven, die in der affinen oder projektiven Ebene verlaufen.

Geschichtlich beginnt die Beschäftigung mit algebraischen Kurven schon in der Antike mit der Untersuchung von Geraden und Kegelschnitten. Im 17. Jahrhundert wurden sie im Rahmen der analytischen Geometrie Gegenstand der Analysis und Isaac Newton behandelte systematisch Kubiken. Die Beschäftigung mit ihnen erreichte im 19. Jahrhundert durch die Behandlung im Rahmen der projektiven Geometrie einen Höhepunkt (unter anderem August Ferdinand Möbius, Julius Plücker). Dabei wird der Punkt im Unendlichen systematisch mit berücksichtigt. Die natürliche Betrachtungsweise ist nach dem Fundamentalsatz der Algebra über den komplexen Zahlen, und die klassische Theorie wurde durch die von Bernhard Riemann entdeckte Verbindung zu Riemannschen Flächen – die im Komplexen Kurven sind – auf eine neue Grundlage gestellt. In der Zahlentheorie (arithmetische Geometrie) werden auch Kurven über anderen Körpern als den reellen und komplexen Zahlen und über Ringen betrachtet.

Algebraische Kurven gehören zu den einfachsten Objekten der algebraischen Geometrie, in der sie mit rein algebraischen Methoden behandelt werden und nicht mit Methoden der Analysis. Höherdimensionale Varietäten der algebraischen Geometrie sind zum Beispiel algebraische Flächen. Man kann algebraische Kurven aber auch im Rahmen der komplexen Analysis untersuchen.^[1]

Im Folgenden werden die verwendeten Begriffe am einfachsten Fall ebener algebraischer Kurven erläutert. Man kann algebraische Kurven etwa als Schnittkurve algebraischer Flächen auch in mehr als zwei Dimensionen definieren. Ihre Klassifikation in drei Dimensionen nach Grad d und Geschlecht g war Gegenstand von zwei großen Arbeiten zum Steinerpreis in den 1880er Jahren von Max Noether und Georges Henri Halphen, deren Beweise und Arbeit aber noch unvollständig war.^[2] Gegenstand der Klassifikation ist festzustellen, welche Paare (d,g) existieren. Algebraische Kurven können immer in den dreidimensionalen projektiven Raum eingebettet werden,^[3] so dass die Betrachtung von zwei und drei Raumdimensionen reicht.

1. ↑ zum Beispiel dargestellt in: Griffiths, Harris, Principles of Algebraic Geometry, Wiley 1978
2. ↑ Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer 1977, S. 349ff
3. ↑ Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer, S. 307